Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Напомним, что функция называется четной, если для имеет место , и нечетной, если . Отметим важной свойство рассматриваемых функций.

Лемма

Интеграл по отрезку , симметричному относительно начала координат, от нечетной функции равен 0, а от четной функции равен удвоенному значению интеграла от этой функции по отрезку .

Доказательство:

===

=====.

Если же - нечетная, т.е. , то

===0.

Далее заметим, что производная двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.

Пусть - четная переодическая функция с периодом , удовлетворяет условию Дирихле на отрезке длиной . Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье: = (разложение по )

Пусть теперь - нечетная. Тогда - есть нечетная, - четная. Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье: = (разложение по ).

Пример Разложить в ряд Фурье функцию , .

Решение:

Т.к. данная функция – нечетная, то ,

=

==

Ответ. .