Отметим некоторые свойства переодических функций.

Сумма, разность, произведение и частное переодических функции одного и того же есть переодическая функция того же периода .

Если функция имеет период , то функция , где , имеет период .

Если интегрируемая на всей числовой оси функция имеет период , то величина интеграла от этой функции по отрезку длиной не зависит от выбора начальной точки этого отрезка, т.е. = . .

Лемма (об ортогональности тригонометрических функций)

Интегралы по отрезку длиной от произведений синусов и косинусов аргументов, кратных переменной , равны:

Доказательство:

Равенства (1) получаются в результате непосредственного вычисления интегралов, предварительно перейдя от произведений к сумам тригонометрических функций по формулам:

.

В итоге вычисление интегралов (1) сводится к вычислению интегралов вида

Опр.	Тригонометрическим полиномом порядка называется выражение вида (2) где - действительные числа, называемые коэффициентами этого полинома.

Полином (2) представляет собой переодическую функцию с периодом , при этом каждое его слагаемое

описывает простое гармоническое колебание с амплитудой , круговой частотой и начальной фазой . Действительно,

(Здесь )

Отсюда, в свою очередь амплитуда и начальная фаза гармонического колебания вычисляются по формулам:

, .