Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

Метод Бернулли.

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v≠0.

y=u·v

y¢=u¢·v+u·v¢

Подставляя выражения у и у¢ в заданное уравнение получаем:

u¢·v+u·v¢+Р(x)·u·v=Q(x)

или

u¢·v+u·(v¢+Р(x)·v)=Q(x).

Подберём функцию v так, чтобы v¢+Р(x)·v=0, то есть решим u¢·v=Q(x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.

Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.

Запишем окончательный ответ в виде: y=u·v.

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у=f(x)+C, где С=const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=f(x)+C(х), где С(х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у¢ и подставим у и у¢ в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С(х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С(х) в общее решение заданного уравнения.

Задание 2. Найти общее решение ДУ I:

y′ctgx+y=2 Метод Бернулли. Пусть y=uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y′=u′v+uv′. Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение: (u′v+uv′)ctgx+uv=2; Сгруппируем слагаемые относительно u, которую вынесем за скобки: (*) u′vctgx+u(v′ctgx+v)=2; Пусть выражение в скобках уравнения (*) равно нулю, т.е. v′ctgx+v=0 Получили уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию v:

Определим функцию u. Для этого в уравнение (*) подставим вместо скобки 0, а вместо функции v найденное выражение: u′vctgx+u·0=2 Þ u′vctgx=2 Þ u′cosxctgx=2