Функциональные ряды.

Опр.	Функциональным называется ряд , где - последовательность функций на множестве .

Опр.	Множество тех значений , для которых функциональный ряд сходится, называется областьюсходимости этого ряда.

При каждом фиксированном значении функциональный ряд превращается в числовой, поэтому для определения области сходимости используются признаки сходимости числовых рядов.

Пример 1 Определить область сходимости ряда

Решение:

1)

2) Применим признак Коши: = .

3) Поэтому при <1 – ряд сходится,

при >1 – ряд расходится.

Ответ: область сходимости <1 или .

Равномерная сходимости функциональных последовательностей и рядов.

Опр.	Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся к функции на множестве , если для существует такой номер , что для всех точек и всех номеров выполняется неравенство: (1)

можно указать такой номер , что при выполняется неравенство:

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Для того чтобы последовательность равномерно сходилась на множестве к некоторой функции, , чтобы для существовал такой номер , что для всех , всех и всех выполнялось неравенство: (2)

Доказательство:

I (Необходимость ). Пусть . Зафиксируем произвольно . Для него существует такой номер , что для всех и всех выполняется неравенство:

.

Поэтому для всех точек , всех номеров и всех имеем:

=

т.е. выполняется условие (2)

II (Достаточность ). Пусть выполняется , тогда в каждой точке последовательность удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, , сходится. Обозначим предел последовательности на множестве через : , (3)

Перейдем к пределу в неравенстве (2) при . В силу (3) получим, что для всех и всех точек выполняется неравенство: , т.е. последовательность сходится равномерно ч. т.д.

Опр.	Ряд , , называется равномерно сходящимся на множестве , если на равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Т.е., если = , , то равномерная сходимость ряда означает, что .

Теорема (необходимое условие равномерной сходимости ряда)

Если ряд равномерно сходится на множестве , то последовательность его членов равномерно стремится к нулю на этом множестве.

Доказательство:

В самом деле, , (4)

В случае равномерной сходимости на множестве ряда последовательности и его частичных сумм равномерно стремится на к его сумме :

,

Поэтому ,

а в силу (4) это означает, что .

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд равномерно сходится на множестве , , чтобы для существовал такой номер , что для всех , всех и всех выполнялось неравенство:

Доказательство:

В силу равенства , где - частичные суммы рассматриваемого ряда, критерий Коши равномерной сходимости рядов следует из критерия Коши равномерной сходимости последовательностей.

Теорема (Признак Вейерштрасса)

Ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве , если существует сходящийся ряд , такой, что (Числовой ряд называется манорирующим (или мажорантой)).

Доказательство:

Т.к. ряд сходится и выполняется неравенство , то в силу признака сравнения ряд сходится абсолютно.

Докажем его равномерную сходимость. Зафиксируем . В силу сходимости ряда существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:

Обозначим = = - -ый остаток ряда. Тогда для всех и для остатков ряда имеем:

= ,

т.е. . Ряд сходится равномерно.

Пример. Исследовать на равномерную сходимость ряд:

Решение:

При : . Т.к. ряд - сходится, то и ряд сходится абсолютно и равномерно.