Зауваження

Розглянемо випадок, коли на кінцях стержня задається ненульова температура. Тоді задача має наступну постановку:

, ,

П.У. К.У. (6.24)

Тут та – сталі температури відповідно на кінцях х=0 та x=l.

У цій задачі з неоднорідними граничними умовами достатньо зробити підстановку:

(6.25)

яка зведе її до попередньої задачі відносно функції Цю процедуру пропонується виконати студентам самостійно.

Розглянемо ще одну задачу про поширення тепла у стержні.

2) Знайти розподіл температур в стержні, на одному кінці якого весь час підтримується нульова температура, а другий кінець теплоізольвано при довільній початковій умові.

Поставимо задачу:

, ,

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.26)

Зазначимо, що тут не суттєво, який кінець теплоізольовано. Як бачимо, крайові умови однорідні. Розв’яжемо цю задачу за методом Фур’є, згідно якого

(6.27)

Тоді рівняння теплопровідності:

або

Розглянемо рівняння

розв’язок якого

Сталі А та В шукаємо із крайових умов:

К.У.

Розпишемо граничні умови:

Очевидно, що тоді

Звідси ,

Отже,

. (6.28)

Розв’яжемо друге рівняння для функції , що одержується з рівняння теплопровідності:

Розв’язок цього рівняння:

Враховуючи, що , , отримаємо

. (6.29)

Отже, маємо і розв’язок даної задачі шукаємо у вигляді:

Поклавши , остаточно будемо мати:

. (6.30)

Коефіцієнти визначаються із початкової умови, як у попередній задачі:

(6.31)

Отже, формули (6.30) і (6.31) дають розв’язок даної задачі.

3) Розв’язати задачу про поширення тепла в стержні, на одному кінці якого стала температура U₀, а другий – теплоізольований.

Поставимо задачу:

, ,

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У.(6.32)

За методом Фур’є крайові умови мають бути нульовими. Тому проведемо заміну

Рівняння теплопровідності:

К.У. (6.33)

П.У.

За методом Фур’є отримаємо

(6.34)

де

Отже, остаточно маємо:

Приклад 6.2 Розв’язати задачу про поширення тепла у стержні довжиною l, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією