Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності

Розглянемо задачу теплопровідності у скінченному стержні довжиною l. нехай його кінці відповідають точкам х=0 та х=l на осі Ох. Враховуючи специфіку метода Фур’є, розглянемо ряд задач з однорідними крайовими умовами.

1) Знайти розподіл температур в стержні, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл задається функцією

Поставимо задачу:

,

П.У. К.У. (6.19)

Для неперервності U(х; t) в точках (0; 0) і (l; 0) необхідно вимагати, щоб φ(0)=φ(l)=0. Також припускаємо, що функцію можна розкласти по синусах кратних дуг на проміжку . Згідно методу Фур’є ненульові розв’язки рівняння, що задовольняють умови (6.19), шукаємо у вигляді добутку двох функцій:

Підставляючи цю функцію у рівняння теплопровідності, отримаємо:

або

Останній факт було досліджено при розв’язуванні задач про коливання. Таким чином, рівняння теплопровідності розпадається на два звичайних диференціальних рівняння:

, (І)

(ІІ)

Розглянемо спочатку перше рівняння і знайдемо функцію Оскільки розв’язки характеристичного рівняння є комплексно спряженими то шукана функція набуває вигляду

Для знаходження невідомих сталих, використовуємо крайові умови, записані для функції

К.У.

Звідси:

Очевидно, що (інакше отримаємо тривіальний розв’язок). Тоді:

Отже, маємо:

, (6.20)

Тепер з рівняння (ІІ) знайдемо функцію Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:

, тоді

Враховуючи, що , остаточно маємо:

, (6.21)

Таким чином, знайдено частинні розв’язки рівняння теплопровідності:

Оскільки рівняння теплопровідності є лінійним та однорідним, то його загальний розв’язок можна знайти, як суму частинних розв’язків:

або, позначивши , запишемо:

(6.22)

Для визначення коефіцієнта скористаємося початковою умовою:

П.У.

Звідси:

Для функції отримано розклад в ряд Фур’є за синусами в інтервалі з коефіцієнтами розкладу . Тоді згідно формул Фур’є:

(6.23)

Таким чином, розв’язок задачі про поширення тепла у стержні, на кінцях якого підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією шукається за формулами (6.22), (6.23).