Методом невизначених коефіцієнтів.

Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння

1. Нехай права частина рівняння многочлен степеня, тобто , тоді:

а) Якщо не являється коренем характеристичного рівняння, тоді частинний розв’язок матиме вигляд:

зокрема:

і т.д.

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння, тоді частинний розв’язок матиме вигляд: .

2. , тоді:

а) Якщо – не являється коренем характеристичного рівняння, частинний розв’язок матиме вигляд: .

б) Якщо – являється - кратним коренем характеристичного рівняння, тоді: .

3. .

а) Якщо – не являється коренем характеристичного рівняння, тоді: , де .

б) Якщо – являється коренем характеристичного рівняння , тоді: .

а) Якщо – не являється коренем характеристичного рівняння, тоді: , де .

б) Якщо – являється коренем характеристичного рівняння , тоді: .

Зауваження. Ми розглядаємо лише диференціальні рівняння порядку. З диференціальними рівняннями вищих порядків можна самостійно познайомитись з вказаної літератури.

Приклад 5. (Задача 4.2). Знайти розв’язок задачі Коші.

Розв’язання.

Знайдемо спочатку загальний розв’язок рівняння: , який має вигляд .

а) – це загальний розв’язок відповідного даному однорідного рівняння: . Запишемо його характеристичне рівняння: отже

б) – частинний розв’язок даного рівняння будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів у вигляді

(випадок 2(б))

Отже,

Так як розв’язок рівняння, то підставивши його в рівняння одержимо рівність: .

Отже, загальний розв’язок даного рівняння: .

Використавши задані початкові умови знайдемо частинний розв’язок рівняння (задачі Коші). Для цього знайдемо

Підставимо початкові умови в і одержимо:

Таким чином, .

2. .

Загальний розв’язок даного рівняння , отже:

а) – це загальний розв’язок відповідного даному однорідного рівняння: . Знайдемо корені відповідного йому характеристичного рівняння . Отже, .

б) : Так як права частина – многочлен степеня, причому не є коренем характеристичного рівняння, то його частинний розв’язок будемо шукати у вигляді: (випадок 1(а)):