Зразки розв’язування задач

Лінійні диференціальні рівняння ІІ порядку з сталими коефіцієнтами

Диференціальні рівняння ІІ порядку

Рівняння виду дійсні числа, причому називається лінійним диференціальним рівнянням порядку зі сталими коефіцієнтами. Якщо , то рівняння , називається однорідним, а якщо – неоднорідним.

Квадратне рівняння називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння . Нехай – дискримінант квадратного рівняння. Можливі наступні випадки:

1) – тоді загальним розв’язком рівняння являється функція ( – корені характеристичного рівняння);

2) – загальним розв’язком являється функція ( – корінь характеристичного рівняння);

3) , тоді якщо – корені характеристичного рівняння, то загальним розв’язком рівняння являється функція

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь:

а) .

Розв’язання.

Складаємо і розв’язуємо характеристичне рівняння: корені дійсні і різні, отже загальний розв’язок даного рівняння: .

б) .

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має рівні корені , тому загальний розв’язок запишемо у вигляді .

в) .

Розв’язання.

Характеристичне рівняння: , тому , отже . Корені комплексні. Загальний розв’язок: .

Теорема. Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння має вигляд , де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння , а – деякий частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.