Лінійні диференціальні рівняння

Однорідні диференціальні рівняння

Означення. Функція називається однорідною виміру відносно змінних і , якщо для довільного значення виконується тотожність:

.

Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо – однорідна функція нульового виміру.

Однорідне рівняння можна записати у вигляді

Однорідне рівняння можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою .

Приклад 2 (Задача 4.1 (б)) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання.

Рівняння однорідне. Виконаємо підстановку . Рівняння набуде вигляду

.

Повертаючись до заміни одержимо

Відповідь: .

Зауваження. До однорідних відносяться також рівняння виду: , якщо – однорідні функції одного виміру. В цьому випадку зручно використати підстановку , .

Означення. Рівняння називається лінійними диференціальним рівнянням.

Розв’яжемо рівняння методом Бернуллі.

Розв’язок рівняння шукають у вигляді , де – невідомі функції , причому одна з них довільна (але не рівна тотожно нулю).

Знаходимо похідну і підставляючи значення та в рівняння (1) дістанемо

Користуючись довільністю у виборі функції знайдемо її так, щоб тоді .

Тобто, розв’язавши сукупність рівнянь:

знайдемо функції .

Приклад 3. (Задача 4.1 (в)) Знайти загальний розв’язок рівняння .

Запишемо рівняння так .

Нехай , тоді

Отже, .

Відповідь: .