Зразки розв’язування задач

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

Диференціальні рівняння І порядку

Рівняння виду

називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння розв’язується шляхом відокремлення змінних. Для відокремлення змінних поділимо рівняння на функцію і дістанемо диференціальне рівняння з відокремленими змінними

(припускаємо, що ).

Якщо і , то також розв’язки диференціального рівняння (особливі розв’язки). Проінтегруємо обидві частини рівняння

.

Приклад 1 (Задача 4.1 (а))

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання.

Запишемо рівняння у вигляді:

.

Поділимо обидві частини на і помножимо на

Інтегруємо обидві частини рівняння

– загальний розв’язок диференціального рівняння (загальний інтеграл).

Відповідь: .