Зразки розв’язування задач

Визначений інтеграл

Нехай функція , яка неперервна на відрізку , де , первісна цієї функції на даному відрізку, тобто , для . Під визначеним інтегралом від неперервної функції на розуміємо приріст її первісної , тобто

, або .

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Економічний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він чисельно дорівнює обсягу виробленої підприємством продукції з продуктивністю праці , за інтервал часу .

Основні властивості визначеного інтегралу

1. .

2. 3.

4.

5. (змінну інтегрування можна позначати любою буквою)

6.

Заміна змінної у визначеному інтегралі

Якщо:

1) функція неперервна на ;

2) і неперервні на ;

3) ;

4) монотонна на , то .

Інтегрування частинами

Якщо функції , та їх частинні похідні неперервні на відрізку , то

.

Приклад 6. (Задача 3.6) Обчислити визначені інтеграли.

а) .

б)

в)