Зразки розв’язування задач

Основні методи інтегрування

Метод безпосереднього інтегрування.

Цей метод ґрунтується на застосуванні табличних інтегралів та основних властивостей невизначеного інтеграла.

Приклад 1. (Задача 3.5(а))

1.

2.

3.

Заміна змінної у невизначеному інтегралі.

Заміна змінної у невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановок двох видів:

1) , де − монотонна, неперервно диференційована на проміжку функція змінної , , а функція визначена на проміжку і має на ньому первісну , тоді

2) , де − нова змінна; формула заміни змінної при такій підстановці:

Приклад 2.

Приклад 3. (Задача 3.5)

Інтегрування частинами.

Нехай визначені і диференційовані на проміжку , тоді справедлива формула:

Типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

А. Інтеграли виду де − многочлен степеня від . В цьому випадку за слід взяти множник

Б. Інтеграли виду:

де − многочлен степеня від . В цьому випадку за слід взяти множник

В. Інтеграли виду дійсні числа.

Після двократного застосування формули інтегрування частинами в правій частині дістанемо заданий інтеграл. Це дає змогу шуканий інтеграл визначити як розв’язок рівняння.

Приклад 4. (Задача 3.5) Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

Приклад 5. (Задача 3.5 )