Площа поверхні обертання.
Завдання для самостійної роботи
Розв’язання
Рівняння задає коло діаметра з центром у точці . Зрозуміло, що . Для обчислення об’єму використаємо формулу (29.6). Будемо мати:
куб. од.
Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням плоских фігур навколо координатних осей:
1. , , , , ?
2. , , ?
3. , , ?
4. , , ?
5.
6. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо полярної осі .
Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена лініями:
16. навколо осі Оу.
Відповідь. .
17. навколо осі Оу.
Відповідь. .
18. навколо осі Ох.
Відповідь. .
19. навколо осі Ох.
Відповідь. .
20.ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0 навколо осі Ох.
Відповідь. .
Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги гладкої кривої, заданої функцією , , обчислюється за формулою
. (29.7)
Якщо гладка крива задана рівнянням , , то площа поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі , може бути обчислена за формулою
. (29.8)
У разі параметричного задання кривої рівняннями , , , де функції , - неперервні разом із своїми похідними, відповідні площі поверхні обчислюються за формулами:
, (29.9)
. (29.10)
Площа поверхні, отриманої обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою та двома полярними радіусами , , визначається за формулою
. (29.11)