Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Знайдемо , тоді
.
Обчислимо: . За формулою (27.7): .
3. Знайти довжину дуги лінії від точки до .
Застосуємо формулу (27.8):
, тоді
.
Отже,
.
(Модуль знято тому, що - кут першої чверті і ).
4. Обчислити довжину дуги кривої від точки до ( ).
Застосуємо формулу (27.7): , .
Тоді .
Отримаємо:
.
5. Знайти довжину астроїди .
Наведемо вигляд цієї кривої.
Користуючись симетрією, обчислимо довжину дуги, що розташована у першій чверті. Вона становитиме чверть від всієї довжини дуги.
З рівняння дістанемо: .
Піднесемо обидві частини рівності до степеня . Отримаємо: .
Тоді .
Обчислимо .
Маємо: .
Тоді .
6. Знайти довжину однієї арки циклоїди .
Згадаємо приклад 9 попереднього параграфа: параметр кривої змінюється від до .
Застосуємо формулу (27.9): , .
Обчислимо
.
Тоді .
Тобто довжина однієї арки циклоїди у вісім разів більша радіуса кола, яке її утворює.
7. Знайти довжину дуги кривої , від до .