Приклади

Формула інтегрування частинами

Розв’язання

Приклади

Обчислити інтеграли:

а) ; б) ; в) ; г) .

а) Застосовуємо підстановку , де .

Знайдемо межі для змінної (табл.2). Тоді ,

.

б) Застосовуємо підстановку

.

Таблиця 2 Таблиця 3 Таблиця 4

Знайдемо межі по (табл.3).

Тоді . Отже,

.

в) Застосовуємо формулу

.

Тоді .

Нехай . Знайдемо межі по (табл.4). Тоді .

Отже, .

г) Оскільки функція парна, то

.

При обчисленні визначених інтегралів часто користуються формулою інтегрування частинами:

. (22)

Виведемо цю формулу. Нехай функції і мають на відрізку неперервні похідні і .

Знайдемо похідну добутку

.

Тоді функція є первісною для функції .

Згідно з формулою Ньютона - Лейбніца

.

До інтеграла у лівій частині цієї рівності застосовуємо властивість визначеного інтеграла:

,

або

.

Звідси й дістаємо формулу (22).

Обчислити визначений інтеграл

а) ; б) .