Оцінка інтегралів. Формула середнього значення.

1⁰. Якщо на відрізку [а;b] функція то (1)

▲ Дійсно, інтегральна сума від функції на [а;b] невід’ємна, так як i=1,2,3,…,n. Прийшовши до границі при в нерівності , одержимо

геометрично твердження очевидне.

2⁰. Якщо всюди на [а;b] , то

▲ Застосовуючи оцінку 1⁰ до функції маємо

За властивістю 6⁰ з § 3 маємо звідки одержуємо

3⁰. Якщо m і M відповідно найменше і найбільше значення функції на відрізку [а;b], а<b, то ▲ є [а;b] маємо

Застосовуючи оцінку 2 і зінтегрувавши ці нерівності, одержимо

і тоді

4⁰. Теорема (про середнє)

Якщо функція неперервна на відрізку [а;b] то на [а;b] така точка , що

(*)

▲ Так як - неперервна то за теоремою Вейєрштрасса існують числа m і M такі, що

Згідно оцінки 3⁰ звідси маємо

і отже покладемо

Так як знаходиться між найменшим та найбільшим значенням неперервної функції y= на відрізку [а;b], то за відомою теоремою про походження функції через проміжне значення, існує точка така, що , тому , а це рівносильно рівності (*). Величина в формулі (*) називається значенням функції на відрізку [а;b].

Примітка. Геометричний зміст теореми про середнє.

Величина визначеного інтеграла при дорівнює площі прямокутника, що має висоту і основу b-a.