Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. ФОРМУЛА МУАВРА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ n-ОЙ СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Пусть произвольное комплексное число, которое изобразим на комплексной плоскости (рис. 9.1). Обозначим , а угол между положительным напрвлением оси Ох и вектором через . Def. Число r называется модулем, а угол аргументом комплексного числа z. Обозначают:

Рис. 9.1.

В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно (с точностью до ).

Абрахам де Муавр (26.05.1667 — 27.11.1754) - английский мате­матик французского происхождения. Кроме правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел, исследовал степенные ряды, первый пользовался возведением в степень бесконечных рядов. В теории вероятностей доказал частный случай теоремы Лапласа .

Def. Значение из интервала называют главным значением аргумента и обозначают Таким образом,

Из прямоугольного (рис. 9.1) , Получаем, что т.е.

(9.1)

где (9.2)

Представление комплексного числа в виде (9.1) носит название тригонометрической формы записи комплексного числа.

N. Представьте число в тригонометрической форме.

Решение.

У нас

.

Тогда, .

Th.9.1

Если и , то (9.3) (9.4)

Доказательство.

.

Th.9.2

(формула Муавра) Если , то для всех (9.5)

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда В этом случае формула (9.4) непосредственно следует из формулы (9.3).

Пусть Тогда:

Таким образом, формула (9.4) справедлива для

Получили, что формула (9.5) верна для всех . Эта формула носит название формулы Муавра .

N. Даны числа

Вычислить: а) б) в)

Решение.

а)

б)

в)

.