Приклади квадровних фігур.
Теорема 1.5. Якщо плоска фігура має внутрішню точку, то внутрішня площа цієї фігури додатна ( ), у протилежному випадку - .
Доведення.1) Нехай фігура має внутрішню точку , тобто існує відкритий круг . У цьому крузі радіуса розглянемо квадрат рангу , який місить точку , і такий, що довжина його діагоналі менша від радіуса: .
Отже, кожна точка квадрата відділена від точки на відстань, меншу його діагоналі, а значить і радіус круга. Тому (рис. 1.6), звідки , тому .
2) Нехай фігура не має жодної внутрішньої точки, тому . ■
Приклад 1. Кожний прямокутник квадровний і µP=(b-a)(d-c).
Доведення.Квадрат рангу буде міститися у прямокутнику , якщо
, , , , звідки
.
Останні нерівності будуть виконуватись, якщо
(тут ми використали правильну для будь-яких нерівність
), або
і (1.12)
і
(1.13)
Оскільки , то завжди можна підібрати достатньо великий номер , при якому нерівність (1.13) виконується. Якщо першій нерівності (1.12) відповідає значень, а другій , то всіх квадратів буде
Поділимо на :
. (1.14)
Перш, ніж продовжувати наші міркування, розглянемо очевидну нерівність . Розділимо всі частини на :
і перейдемо до границі при :
.
Отже, в нерівності (1.14) перейдемо до границі при
(1.15)
з іншого боку, квадрат буде перетинатися з (тобто мати з принаймні одну спільну точку), якщо проекції на координатні осі квадрата і прямокутника перетинаються, тобто (рис. 1.17)
і .
При цьому
, i , ,
або і ,
звідки і (1.15)
Значить квадратів , які задовольняють умови (1.15), є , і кожний квадрат, який має принаймні одну спільну точку з прямокутником , знаходиться серед них, то
В останній нерівності перейдемо до границі при :
(1.16)
Співставляючи нерівності (1.15) і (1.16) бачимо, що
Отже, прямокутник є квадровною фігурою і його площа . ■
Приклад 2. Кожна ламана на площині з скінченним числом відрізків квадровна і має площу, рівну нулю.
Для доведення розглянемо ламану, яка складається з одного відрізка. Оскільки відрізок не має внутрішніх точок, то за теоремо 1.5 внутрішня міра . Залишається показати, що і зовнішня міра тут дорівнює нулю.
Відрізок нахилений до однієї з координатних осей на кут, не більший , наприклад до осі і – його проекція на цю вісь (рис 1.18). Оскільки
,
то кожний квадрат рангу , який має з принаймні одну спільну точку, проектується у відрізок осі і число такий проекцій не перевищує . При цьому квадратів з однією і тією ж проекцією не може бути більше трьох, бо якби відрізок перетинав, наприклад, квадрати , , і (рис. 1.19), то кут його нахилу до осі був би більший 45о. тому число βn(L) квадратів рангу , які мають з принаймні одну спільну точку, не перевищує числа , звідки
.
Перейдемо до границі при :
, або .
Отже , тому відрізок є квадровна фігура, площа якої дорівнює нулю. ■
Приклад 3. Кожний трикутник, многокутник є квадровними фігурами.
Доведення.Оскільки довільний многокутник можна подати як скінченне об’єднання тиркутників, то доведення квадровності проведемо для трикутника . Різниця
означає число квадратів рангу , які мають принаймні одну спільну точку з , але не належать внутрішності цього трикутника (рис. 1.20). Кожний такий квадрат перетинається з межею (тобто периметром) трикутника. Дійсно, візьмемо точку і .
Якщо або , то ,
Якщо або , то , а . Тоді відрізок перетинатиме і . Отже, перетинається з , тому
,
.
Але периметр трикутників складається з трьох відрізків, тому він квадровний і . Отже, , або .
Отже, згідно з 1.1 трикутник , є квадровною фігурою. ■
Приклад 4. Якщо і – інтегровані функції на відрізку , при чому . Тоді фігура , обмежена графіком функцій , і прямим , квадровна і її площа дорівнює
.
Приклад 5. Якщо функція інтегровна на відрізку , то криволінійний сектор , який визначається цією функцією, є квадровною фігурою, площа якої дорівнює
.
Доведення цих фактів нами проводилося при вивчені визначеного інтеграла. Нагадайте їх.