Доведення.

Доведення.

Властивості площі квадровної плоскої фігури.

Теорема 1.1. Для того, щоб плоска фігура була квадровною, необхідно і досить, щоб

. (1.9)

Доведення.Послідовність є спадною як різниця спадної і зростаючої невід’ємних числових послідовностей, і . Отже існує границя цієї послідовності і, в силу умов (1.7)-(1.8), вона дорівнює:

,

а це означає, що виконується рівність 1.9. ■

Теорема 1.2 (монотонність площі). Якщо фігури і квадрові, і , то .

■

Теорема 1.3 (адитивність площі). Якщо фігури , квадровні і попарно не мають спільних внутрішніх точок, то об’єднання фігур є квадровна фігура, при чому .

1) Якщо квадрат -го рангу міститься всередині , то він міститься і у і не міститься одночасно у (оскільки його центр був спільною внутрішньою точкою фігур і ), і

.

2) З іншого боку, якщо кожний квадрат n-го рангу, що має з принаймні одну спільну точку, перетинається також принаймні з однією з , тобто

(1.10)

Оскільки фігури квадровні за умовами теореми, то

і

Перейдемо в нерівності (1.10) до границі при , отримаємо:

, звідки

, або

. ■

Теорема 1.4 (критерій квадровності). Для того, щоб плоска фігура була квадровною, необхідно і досить, щоб для будь-якого ε > 0 існували такі квадровні фігури і , що і .

Доведення. Необхідність. Нехай фігура є квадровною, тому згідно з теоремою 1.1 існує таке , що

.

Фігури і , яким відповідають числа і , складені з квадратів рангу , які не мають попарно спільних внутрішніх точок і за теоремою 1.3. є квадровними. Отже множини і задовольняють умові (1.11). ■

Достатність. Нехай існують дві квадрові множини та такі, що для них виконується умова (1.11).

З умов (1.7) – (1.8) маємо:

.

Оскільки, за умовою, , то

.

,

Отже, за теоремою 1.1 фігура є квадровною.