Властивості чисел .

Властивість 1.1. Для довільного цілого :

, і

при

Доведення.Дійсно, якщо квадрат рангу міститься всередині , то і всі чотири квадрати рангу , з яких він складається, також міститься всередині , тому .

З другого боку число квадратів рангу , з яких складається квадрат рангу , і які перетинаються з , дорівнює , і серед них міститься кожний квадрат рангу , що перетинається з ; отже (рис 1.5).

Тому

i ■

Властивість 1.2. Для довільних цілих :

.

Доведення.Розглянемо випадки

a) , оскільки кожний квадрат, який міститься всередині , перетинається з ;

б) якщо на основі властивості 1.1, а , отже ;

в) якщо , то на основі властивості 1.1, і а , (умова а)) отже ;

отже ми отримали дві монотонні послідовності невід’ємних чисел:

,

,

які є обмеженими відповідно зверху, знизу. Тому і відповідно точна верхня і точна нижня межі цих послідовностей:

, .

Означення 1.2. Точну верхню межу послідовності називають внутрішньою площею фігури і позначають :

, (1.3)

а точну нижню межу послідовності – зовнішньою площею фігури і позначають:

. (1.4)

Очевидно, що . На основі відомої теореми про границю монотонної послідовності маємо:

(1.5)

Зауваження.Існують плоскі фігури, для яких . Наприклад якщо розглянути множину точок квадрата з раціональними координатами, то

і , а і

Отже .

Означення 1.3. Якщо внутрішня і зовнішня площі плоскої фігури співпадають, то називають квадровною фігурою, а спільне значення називають площею фігури:

(1.6)

Таким чином (1.7)

або (1.8)