Векторное произведение векторов
Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
1. = .
2. .
3. Проекция вектора на вектор
.
4. Направляющие косинусы вектора :
, , .
5. Для направляющих косинусов справедливо соотношение
.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов,,приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого вектора ко второму виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
правая | левая |
Тройка векторов базиса считается правой.
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.
Если тройки - правые, то - левые.
При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки
не меняется.
Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трем требованиям:
1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е.,
2) вектор ортогонален к каждому из векторов и , т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .
3). Вектор направлен так, что тройка является правой.
Векторное произведение полагают равным нулю, если или (и) или они коллинеарны.
Векторное произведение обладает свойствами:
1. ;
2. ;
3. ;
4. для любого вектора .
5. , если векторы и коллинеарны.
Приведем некоторые схемы для вычисления различных векторных произведений векторов базиса :
,
.