Векторное произведение векторов

Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат

1. = .

2. .

3. Проекция вектора на вектор

.

4. Направляющие косинусы вектора :

, , .

5. Для направляющих косинусов справедливо соотношение

.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов,,приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого вектора ко второму виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

правая

левая

Тройка векторов базиса считается правой.

При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.

Если тройки - правые, то - левые.

При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки

не меняется.

Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е.,

2) вектор ортогонален к каждому из векторов и , т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3). Вектор направлен так, что тройка является правой.

Векторное произведение полагают равным нулю, если или (и) или они коллинеарны.

Векторное произведение обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. для любого вектора .

5. , если векторы и коллинеарны.

Приведем некоторые схемы для вычисления различных векторных произведений векторов базиса :

,

.