Определение крутящего момента в поперечном сечении вала

При равномерном вращении сумма внешних крутящих моментов, действующих на вал, равна 0. ( åМ_i = 0)

Крутящий момент в любом сечении вала определяют методом сечений через внешние крутящие моменты.

Крутящий момент Т в произвольном поперечном сечении вала численно равен сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения.

Т=Σ M_z

Другими словами внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать момент, уравновешивающий внешние крутящие моменты, приложенные к оставленной части.

Правило знаков: Крутящий момент в сечении (а-а) считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения. Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечений будет отрицательным.

Если на вал действует несколько крутящих моментов, то для определения наиболее нагруженного участка вала строят эпюры крутящих моментов. График, показывающий закон изменения крутящих моментов по длине бруса называется эпюрой крутящих моментов. Границами участков будут сечения, в которых:

· приложен внешний крутящий момент

· изменяется площадь или форма поперечного сечения

пример 1:

пример 2:

На каждом участке крутящий момент Т имеет постоянное значение. Эпюра крутящих моментов на участке – прямая параллельная оси абсцисс. При переходе границы участка эпюра крутящих моментов делает скачок на величину внешнего момента, приложенного в этом сечении.

Расчёт вала на прочность

При кручении бруса во всех поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Для расчета на прочность (жесткость), также как и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасными будут сечения, в которых крутящих момент максимален.

Касательное напряжение в " точке поперечного сечения:

где Т – внутренний крутящий момент,

I_r – полярный момент инерции всего сечения,

r – радиус-вектор (расстояние) от центра сечения до рассматриваемой (×)

I_r и Т не зависят от того насколько точка удалена от центра сечения и постоянны для " точки сечения.

В точках равноудаленных от центра сечения напряжения t одинаковы. Наибольшее значение касательное напряжение достигает в точках контура поперечного сечения, т. е. при ρ_max = r = d/2

т. к. наиболее важно именно максимальное напряжение, то обозначили , где W_r – полярный момент сопротивления ( в общем случае – момент сопротивления при кручении).

Тогда

Если поперечное сечение вала – круг:

Þ

Если поперечное сечение вала – кольцо:

Þ

Условие статической прочности вала при кручении:

используется при проверочном расчете.

При проектном расчете: