Разработка модернизированной математической модели

Описание программы MODMD79

Основной идеей, положенной в основу модернизации программы MODMD24, является гипотеза о пропорциональности относительной концентрации в объеме сумме отношений времен пролета молекул в исследуемом объеме и свободном пространстве.

Рассмотрим два одинаковых объема (1 и 2), в которые попадают одинаковые потоки частиц. Разница в том, что в первом объеме рассеяние на стенках диффузное, а во втором – зеркальное. Известно, что при решении задач свободномолекулярной аэродинамики фиктивные стенки можно заменять на зеркально отражающие, поэтому концентрация в первом объеме будет равной концентрации окружающей среды. Таким образом, сравнивая между собой времена пролета молекул в первом и во втором объеме, можно сделать вывод об относительной концентрации в объеме с диффузноотражающими стенками.

Разобьем все влетающие частицы на классы: в класс j входят все частицы с определенной точкой влета, определенной скоростью влета, одинаково рассеиваемые в объеме 1. Пусть при зеркальном отражении в рассматриваемом объеме таких частиц будет N_j, тогда при диффузном отражении число частиц класса j в объеме 1 будет равно:

,

где t_реалj– среднее время нахождения частиц класса j в объеме 1;

t_идеалj – время нахождения частицы класса j в объеме 2.

Очевидно, что

Тогда, сложив частицы всех классов, получим, что в объеме 1 количество частиц равно:

,

где N – количество рассматриваемых частиц(число частиц в объеме 2).

При зеркальном отражении плотность внутри объема равна внешней плотности n = N/V, где V – величина рассматриваемого объема.

Рассмотрим относительную плотность в объеме 1.

(58)

Таким образом (58) – расчетная формула для всего объема.

Если объем 1 разбит на несколько частей, то отношение количества частиц класса j в частном объеме к количеству частиц класса j в объеме 1 равно t_частj/t_реалj, где t_частj – время нахождения в частном объеме частиц класса j. Если N_j¢ – количество частиц класса j в объеме 1, то количество частиц класса j в частном объеме

Очевидно, что

Просуммируем по всем классам j, тогда

Плотность в частном объеме естественно задавать как

,

тогда относительная плотность в частном объеме

. (59)

Таким образом, (59) – расчетная формула для частного объема.

Покажем, что (59) соответствует формуле (58). Пусть все частные объемы одинаковы по величине, тогда

По определению:

При равных частных объемах формула (60) очевидна.

Достоинством данного подхода является то, что для его реализации достаточно внести в текст программы MODMD24 лишь небольшие изменения.