Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Построение линии пресечения двух поверхностей методом секущих сфер (концентрических сфер посредников)

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пересекаются между собой и параллельны одной из плоскостей проекций. Известно, что если сфера имеет центр на оси заданной поверхности вращения и пересекает эту поверхность, то линия пересечения будет окружностью. Если к тому же ось вращения заданной поверхности параллельна одной из плоскостей проекций , то указанная окружность проецируется на эту плоскость в отрезок прямой, перпендикулярной проекции оси вращения на ту же плоскость. На рис. 8.18 показано построение линии пересечения параболоида вращения с конусом вращения.

Для нахождения искомой линии в начале следует провести плоскость-посредник Р через оси заданных поверхностей и найти линии ее пересечения с параболоидом и конусом. На плоскости П₂ эти линии будут очерками заданных поверхностей. Точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ пересечение очерченных линий рассматриваемых поверхностей принадлежат искомой линии перехода. Для нахождения других точек линии сечения опишем из точки О сферу таким радиусом, чтобы она пересекала заданные поверхности. На плоскости П₂ эта сфера проецируется в окружность, пересекающую очерки параболоида в точках А₂, В₂, С₂, D₂ и конусов в точках Е₂, F₂, G₂, H₂. Отрезки А₂В₂ и С₂D₂ являются проекциями на П₂ окружностей, по которым проведенная сфера пересекается с параболоидом. Отрезки E₂F₂ и G₂H₂ -проекции на П₂ окружностей, по которым та же сфера пересекается с конусом. Точка 5₂=C₂D₂ÇE₂F₂ и точка 6₂=C₂D₂ÇG₂H₂ принадлежат проекции на П₂ искомых линий перехода (в данном случае их две). Число сфер-посредников следует брать таким, чтобы полученных точек искомой линии перехода было достаточно для ее построения.

Рисунок 8.18

Найденные точки 1₂, 5₂, 2₂ и 3₂, 6₂, 4₂ нужно соединить плавными кривыми, которые и будут видимыми участками фронтальных проекций искомых линий перехода. Границей видимых этих линий на П₂ является очерковая линия заданного параболоида невидимые участки проекции линии перехода совпадают с видимыми и потому невидимые точки 5'₂ и 6'₂ на рис. 8.18 не показаны.

Если требуется построить и горизонтальную проекцию, то на П₁ проводят окружность, в которую проецируются линии пересечения параболоида с каждой сферы-посредником, и на этих окружностях находят точки 5₁, 5'₁ и 6₁, 6'₁. Точки 1₁, 2₁, и 3₁, 4₁ находятся на следе Г₁. Соединение полученных горизонтальных проекций точек линий перехода должно быть произведено в следующем порядке: 1₁, 5₁, 2₁, 5'₁, 1₁, и 3₁, 6₁, 4₁, 6'₁, 3₁. Границами видимости этих кривых на полкости П₁ будут очерковые образующие конусы.

На рис. 8.19, 8.20, 8.21 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае рис. 8.19 цилиндр врезается в конус, потому что, если вписывать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором случае рис. 8.20 конус врезается в цилиндр, т. к. сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем случае рис. 8.21 сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра и конуса в этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Рисунок 8.19

Рисунок 8.20

Рисунок 8.21

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят что поверхности имеют двойное соприкосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 8.22). Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF иAEBD изображаются отрезами прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с выраженной проекцией вертикального цилиндра на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 8.23).

Рисунок 8.23

Глава 10. Касательные плоскости.