Епюри поздовжніх сил та нормальних напружень

Приклади розв’язку тестових завдань

Тест 1

Побудувати епюру повздовжніх сил, яка відповідає заданій розрахунковій схемі стержня.

Рис. 65.

Розв’язок:

Проведемо переріз між перерізами прикладення сил F₁ та F₂ (рис. 66).

Для визначення сили N₁ складемо рівняння

статичної рівноваги для відсіченої частини

стержня:

Рис. 66.

Проведемо переріз між жорстким закріпленням на лівому кінці стержня та місцем прикладення сили F₂ (рис. 67).

Для визначення сили N₂ складемо рівняння

рівноваги для відсіченої частини стержня.

Рис. 67.

За отриманими значеннями N₁ та N₂ побудуємо епюру змінювання повздовжніх сил (рис. 68) уздовж стержня.

Рис. 68.

Тест 2

Побудувати епюру нормальних напружень для стержня з урахуванням власної ваги.

Рис.69.

Розв’язок:

Запишемо аналітичний вираз повздовжньої сили для верхньої (рис. 70) та нижньої (рис. 71) частин стержня.

Рис. 70

Складемо рівняння рівноваги для верхньої частини стержня:

де – власна вага відсіченої частини стержня з площею поперечного перерізу «А».

Поточна координата х змінюється в діапазоні 0 ≤ х ≤ а.

Оскільки власна вага верхньої частини змінюється в залежності від місця проведеного перерізу, то буде змінюватися і величина поздовжньої сили N₁(х):

якщо х=0, то

х=а,

Відповідно буде змінюватися і величина нормального напруження:

Складемо аналітичний вираз поздовжньої сили та нормального напруження для перерізу, який зроблено у нижній частині стержня.

Рис. 71.

де – власна вага відсіченої частини стержня з площею поперечного перерізу «2А».

Поточна координата змінюється в діапазоні

Відповідно нормальне напруження визначається виразами:

За отриманими виразами нормальних напружень побудуємо епюру (рис. 72):

Рис. 72.

Тест 3

Для заданого стержня (рис. 73) побудувати епюру нормальних напружень, якщо площа поперечного перерізу дорівнює .

Рис. 73.

Розв’язок:

Для визначення поздовжніх сил проведемо послідовно два перерізи: між перерізами прикладення сил F₁ та F₂, і сил F₂ та F₃.

Рис. 74.

Для кожного випадку будемо складати рівняння статичної рівноваги для відсічених частин стержня:

Рис. 75.

Рис. 76.

Напруження у проведених перерізах визначаємо за формулами:

За отриманими значеннями нормальних напружень побудуємо відповідну епюру (рис. 77):

Рис. 77.

Тест 4

Для заданого східчастого стержня (рис. 78) без урахування власної ваги побудувати епюру поздовжніх сил.

Рис. 78.

Розв’язок:

Для визначення поздовжніх сил проводимо послідовно два перерізи: 1-1 та 2-2 . Складаємо рівняння статичної рівноваги для кожної відсіченої частини.

Рис. 79.

Рис. 80.

За отриманими значеннями повздовжніх сил побудуємо відповідну епюру повздовжніх сил.

Рис. 81.

Аналітичні вирази для визначення площі поперечного перерізу та подовження стержня при розтяганні (стисканні)

Тест 1

Записати аналітичний вираз для визначення переміщення вільного кінця стержня (рис. 82) без урахування власної ваги.

Рис. 82.

Розв’язок:

Переміщення вільного кінця стержня складається із стискання верхньої і нижньої частин стержня, які визначаються за допомогою закону Гука:

Тест 2

Записати аналітичний вираз для визначення площі нижньої частини стержня (рис. 83) з урахуванням власної ваги, якщо задано допустиме напруження дорівнює

Рис. 83.

Розв’язок:

Умова міцності для нижньої частини має вигляд:

звідки

– власна вага верхньої частини стержня.

– власна вага нижньої частини стержня.

Тест 3

Записати аналітичний вираз для визначення подовження верхньої частини стержня (рис.84) довжиною «b» сталого поперечного перерізу з урахуванням власної ваги (площа перерізу дорівнює «А»).

Рис. 84.

Розв’язок:

Подовження верхньої частини визначається за допомогою закону Гука: та викликається зовнішньою силою F та вагою нижньої частини .

Рис. 85.

Тест 4.

Записати аналітичний вираз для визначення переміщення перерізу І-І для стержня без урахування власної ваги.

Рис. 86.

Розв’язок:

Переміщення перерізу 1-1 дорівнює подовженню верхньої частини, яке визначається за формулою Гука: