Пряма на площині

8.1 Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і:

а) перпендикулярна до вектора ; б) паралельна до вектора ; в) утворює з віссю кут ; г) точку .

8.2. Вказати особливості розташування прямих на площині:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

8.3. Дано вершини трикутника . Знайти:

а) рівняння сторони ; б) рівняння та довжину висоти ; в) рівняння та довжину медіани ; г) точку перетину висоти і медіани ; д) рівняння прямої , що проходить через точку паралельно стороні .

Розв’язок. а) рівняння сторони складемо, використовуючи рівняння (8.13) – прямої, що проходить через дві точки:

що рівносильно

або

– канонічне рівняння прямої ( ).

Запишемо рівняння прямої в загальному вигляді: , ( ).

Запишемо рівняння прямої у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом: , .

б) Щоб записати рівняння висоти , використаємо умову перпендикулярності прямих і : . Отримаємо: . Запишемо рівняння прямої , що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом (8.9): , тобто або

.

Довжину висоти знайдемо як відстань від точки до прямої , використавши формулу (8.24):

в) Щоб записати рівняння медіани , знайдемо координати точки М як середини відрізка і скористаємося рівнянням (8.13).

Так як

, ,

то

, ,

тобто . Тоді рівняння медіани матиме вигляд:

,

що рівносильно

або .

Знайдемо довжину медіани як відстань між двома точками:

.

г) Знайдемо точку перетину висоти і медіани . Для цього розв’яжемо систему їх рівнянь:

.

Отримаємо ; , тобто .

д) Щоб записати рівняння прямої , що проходить через точку паралельно стороні , використаємо умову їх паралельності – і рівняння (8.9) – . Отримаємо: або . t

8.4. Знайти кут між двома прямими:

1) і ; 3) і ;

2) і ; 4) і .

8.5. Знайти відстань між двома паралельними прямими і .