Обернена матриця

Основні поняття

НЕВИРОДЖЕНІ МАТРИЦІ

Лекції 3–4

Нехай – квадратна матриця -го порядку

.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник , в протилежному випадку ( ) матрицю називають виродженою.

Матрицею, союзною до матриці , називається матриця

,

де – алгебраїчні доповнення елементів матриці , .

Матриця називається оберненоюдо матриці , якщо виконується умова

. (3.1)

Теорема 3.1. Будь-яка невироджена матриця має обернену.

Доведення. Знайдемо добуток матриць і :

.

З властивостей визначників 9, 10 отримаємо

= = ,

тобто

. (3.2)

Аналогічно доводимо, що

. (3.3)

Рівності (3.2), (3.3) перепишемо у вигляді

, , .

Порівнюючи отримані результати з означенням (3.1), робимо висновок:

. (3.4)

Властивості оберненої матриці:

1. ;

2. ;

3. .

Приклад 3.1.Вияснити,чи існує обернена матриця до матриці

і, якщо існує, то знайти її.

Розв’язок. Знаходимо визначник матриці :

.

Отже, дана матриця невироджена, і існує.

Згідно формули (3.4)

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Тоді

.

Перевірка:

=

= .

Також

= . t