Потоки случайных событий. Пуассоновский поток.

Поток событий – это последовательность псевдослучайных однотипных событий в случайные моменты времени.

Поток называется простейшим или Пуассоновским, если он обладает следующими свойствами:

1)одинарность – события потока следуют по одиночке;

2)стационарность – вероятность того, что за промежуток Δt произойдет ровно m событий потока, одно и тоже независимо от того, где Δt берется;

3)отсутствие последействия – число событий на промежутке ΔT₂ не зависит от того сколько событий произошло на промежутке ΔT₁ (нынешняя ситуация не влияет на последующую)

Теорема:

,

где λ – среднее число событий потока за единицу времени,

M – математическое ожидание,

- вероятность того, что за ΔT произойдет m событий.

Доказательство:

Формула Бернулли

А – случайное событие, Р(А),

Докажем, что простейший поток всегда будет Пуассоновским.

Рассмотрим ΔT

- среднее число событий за

Рассмотрим случайную величину ξ – число событий потока на интервале

В силу одинарности таблица ограничена двумя значениями.

Определим q, p

;

ξ
P

Эксперимент в силу стационарности повторяется n – раз.

=[Пусть: n→∞. В пределе формула Бернулли перейдет в формулу Пуассона. λΔT=a.]=

=[Поделим на n]=

Теорема доказана.