Эллипсоид

Def. Эллипсоидом назывется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

(18.2)

Исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями.

1. Очевидно, что эллипсоид пересекает оси координат в точках

Из уравнения (18.2) следует, что и т.е. эллипсоид представляет собой поверхность, заключенную в параллелепипеде Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, координатные оси – осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.

2. Рассмотрим сечение данного эллипсоида плоскостью Уравнение линии пересения имеет вид:

Данная линия представляет собой эллипс с полуосями и

Аналогично устанавливаем, что пересечением эллипсоида плоскостью будет эллипс

с полуосями и а плоскостью эллипс

с полуосями и

3. Рассмотрим теперь линию пересечения эллипсоида с плоскостью параллельной плоскости Уравнение этой линии имеет вид:

или

(18.3)

При уравнение (18.3) задает эллипс с полуосями и При эллипсоид и эллипс не имеет общих точек. При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс).

Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями и также получаются эллипсы.

Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им, являются эллипсы (рис. 18.1). Def. Числа называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным. Если эллипсоид превращается в сферу.

Рис. 18.1