Смешанное произведение векторов

Def.Смешанным произведением векторов и называется число равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора, т.е.

Th.12.2

(выражение смешанного произведения через координаты сомножителей) Если и то (12.7)

Доказательство.

Согласно (12.6)

Согласно (11.13)

С другой стороны

Теорема доказана .

Th.12.3

(свойства смешанного произведения векторов) 1.Смешанное произведение не меняется при перемене мест знаков векторного и скалярного произведения, т.е. (12.8) В связи с этим принято обозначение 2. При циклической перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (12.9) 3. При перемене мест любых двух векторов-сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. (12.10) 4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. 5.Смешанное произведение векторов и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «–», если они образуют левую тройку.

Доказательство.

Первые три свойства непосредственно следуют теоремы 12.2 и свойств определителей.

4. Смешанное произведение векторов определяется значением определителя (12.7). Согласно критерию равенства нулю определителя (теорема 7.8) это возможно тогода и только тогда, когда строки определителя линейно зависимы, т.е. векторы и линейно зависимы, а, значит, компланарны . 5. Построим параллелепипед на векторах равно площади параллелограмма , лежащего в основании параллелепипеда. Если векторы и образуют правую тройку (рис. 12.4), то равна высоте параллелепипеда Если же данные векторы образуют левую тройку (рис. 12.5), то

Рис. 12.4 Рис. 12.5

равна Таким образом, .

N. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах и

Решение.

Найдем по формуле (12.7).

Тогда, (куб.ед.)

Ответ. куб.ед.

Двойное векторное произведение векторов

Def.Двойным векторным произведением векторов и называется произведение

Th.12.4

Для любых векторов и (12.11)

Доказательство.

Покажем, что в левой и правой части (12.11) стоит один и тот же вектор. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы а

и были компланарны (рис. 12.6). В этой системе координат и имеют следующие координаты: и Согласно (12.6) Тогда

Рис. 12.6

Теорема доказана .

Таким образом, формула (12.11) позволяет вычислить двойное векторное произведение значительно быстрее, чем по определению.

N. Найти , если и