Основные методы интегрирования

Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла. Например:

т.к. , то .

Ниже приводимый список интегралов называется табличным. Необходимо отметить, что в приводимой ниже таблице переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной.

Таблица основных интегралов.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

В справедливости приведенных выше формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.

1) метод непосредственного интегрирования.

Этот метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам и называется методом непосредственного интегрирования.

Примеры:

1. .

2. .

3. .

2) метод интегрирования подстановкой (замена переменной).

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно сделать подстановку приобретается практикой и зачастую делается по интуиции.

Пусть требуется вычислить . Сделаем подстановку , где - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда и на основании инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получим формулу интегрирования подстановкой ′(t)dt. Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной t интегрирования назад к старой переменной x. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде тогда , где . Другими словами, первую формулу можно применить справа налево

Примеры: 1). Получим , тогда и

2) . Пусть и . Подставляя, получим 3) . Пусть , тогда , 3) Метод интегрирования по частям.

Пусть и – функции, имеющие непрерывные производные, тогда . Интегрируя это равенство, получим или .Полученное соотношение получило название формулы интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисления интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подинтегральное выражение заданного интеграла представляется каким либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем после нахождения v и du используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые виды интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

а) интегралы вида , , , где Р- многочлен, k – число. Удобно положить , а за dv обозначить все остальное.

б) интегралы вида , , , , , надо положить , а u – все остальное.

в) интегралы вида , , где a и b – числа. За u можно принять функцию .

Примеры: 1) . Пусть ; ; ; (полагая, что с=0). Применяя формулу интегрирования по частям получим

2) . Пусть ; получим при

3) . ; , следовательно . Для вычисления последнего интеграла снова применили метод интегрирования по частям

Значит . Окончательно