Замена переменной в определенном интеграле

Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла.

Для вычисления определенных интегралов применяется простая и удобная формула Ньютона-Лейбница, названная так в честь изобретателей дифференциального и интегрального исчислений И. Ньютона, о котором уже говорилось, и В. Г. Лейбница (1646-1716), немецкого ученого и философа. Формула имеет вид:

(8.4)

Она устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами. Благодаря этой связи, отпала необходимость нахождения всякий раз пределов интегрированных сумм, попытки которых предпринимались не раз со времен Архимеда (3 в. до н. Э.). Формула Ньютона-Лейбница способствовала решительному и быстрому внедрению методов интегрирования в практику. Благодаря ей математика получила общий метод для решения многих частных задач и смогла значительно расширить круг приложений.

Пример 8.1. Вычислить

Пример 8.2.

Вычислить

Пусть дан интеграл , где функция - непрерывна на отрезке . Введем новую переменную в виде , где .

Если при этом выполняются условия:

1)

2) и - непрерывные на отрезке

3) - определена и непрерывна на отрезке то

(8.5)

Справедливость равенства (8.5) проверяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Замечание. При интегрировании методом замены переменной нет надобности возвращаться к прежней переменной.

Пример 8.3. Вычислить

Введем замену переменной (подстановку)

Из основной подстановки найдем новые пределы интегрирования, полагая в выражении ,

Получим при , при .

Согласно формуле (8.5) запишем:

Пример 8.4. Вычислить

Приведем замену переменной тогда

найдем новые пределы интегрирования:

при , при из уравнений

Имеем