Метод интегрирования по частям

Метод замены переменной (подстановка)

Непосредственное интегрирование

Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования, напрямую зависят от количества выполняемых уравнений. Поэтому перейдем к практике интегрирования.

Пример 7.2. Найти неопределенные интегралы:

1) 2)3)

4)

5)

6)
7) (См. формулу 12 таблицы)

8) (См. формулу 13 таблицы)

Метод базируется на применении формулы, связанной со сложной функцией

(7.2)

где дифференцируемая функция и . Чтобы установить справедливость формулы (7.2), достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей по совпадают. Воспользуемся свойством 2 неопределенного интеграла. Дифференциал левой части Дифференциал правой части Они одинаковы. Тем самым справедливость формулы (7.2) доказана.

При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи . Эти замены переменной будем называть подстановками.

Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов. Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие. О них можно узнать из подробных курсов анализа и справочников, например, Н. С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, изд. 3, М., 1961; И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, изд. 13, М., Наука, 1986, с 242-257.

Пример 7. 3. Найти Введем подстановкуи найдем дифференциалы ее левой и правой частей . Тогда данный интеграл примет вид .

Пример 7.4. Найти . Введем подстановку чтобы избавиться от знака корня. Тогда Интеграл примет вид

где , что следует из подстановки.

помощью метода замены переменной можно получить новые важные формулы интегрирования. Покажем, что если F(x) есть первообразная функции f(x), то замена аргумента x на линейный двучлен ax+b приводит к интегралу

(7.3)

Действительно, подстановка ax+b=dt или dx= дает интеграл

Если в формуле (7.3) b=0, то

(7.4)

Пример 7.5. 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

апишем правило: Если подынтегральная функция есть дробь, числитель которой равен дифференциалу знаменателя, то интеграл такой дроби равен натуральному логарифму знаменателя:

айти Пусть

Пример 7.6. 1) ;

2) ;

3) здесь

4) здесь

Если - две дифференцируемые функции, то дифференциал их произведения Интегрируя это равенство почленно, получим

или ,

тогда (7.5)

Формула (7.5) называется формулой интегрирования по частям.

Идея применения формулы (7.5) заключается в следующем. Подынтегральная выражение всегда можно представить как произведение некоторой функции и на дифференциал другой функции . В левой части формулы записан именно такой интеграл. Обратите внимание на интеграл, стоящий в правой части формулы. Его подынтегральное выражение представляет собой произведение функции на дифференциал функции . То есть функции , поменялись ролями, в результате чего интеграл, стоящий справа может оказаться более простым и даже табличным. Иначе говоря, формула позволяет интегрирование данной функции заменить интегрированием другой функции. Техника интегрирования сводится к тому, что за берется такая часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за такая часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. При интегрировании получается , то есть бесконечное множество первообразных. Для применения формулы интегрирования по частям (7.5) можно взять любую из первообразных, в частности ту, для которой С=0.

Это упрощает решение. Поэтому при нахождении функции произвольную постоянную С вводить не следует.

Чтобы предупредить неудачные действия при интегрировании по частям, рекомендуем:

1. в интегралах вида,

где - многочлен, , принимать а равным остальной части подынтегрального выражения, включая .

2. в интегралах вида за принимают логарифм или аркфункцию, а ;

3. в интегралах за можно принять либо , либо или . Остальная часть подынтегрального выражения принимается за .

В некоторых случаях интегрирование по частям приходится применять повторно, последовательно упрощая интеграл.

Пример 7.7.

1)

2)

3)

1-е интегрирование по 2-е интегрирование по

частям частям

=

иногда приходится применять различные методы интегрирования – сначала метод замены переменной, затем интегрирование по частям.

Пример 7.8.Найти

Подстановка: По частям:

=

Из сказанного и рассмотренных примеров видно, что общие методы интегрирование требуют нешаблонного подхода, необходимы определенные навыки и сообразительность для приведения данных интегралов к табличным.

Для некоторых видов интегралов имеются типовые приемы преобразований, приводящих эти интегралы к табличным.