Основные теоретические сведения
Общие указания
ЦИКЛИЧЕСКОЙ) НАГРУЗКЕ
РАСЧЕТ ВАЛА ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННОЙ
РАСЧЕТ ВАЛА НА ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ.
Расчетно-графическая работа № 2
Предлагаемая работа состоит из двух частей. В первой части для статически определимого вала производят расчет на прочность и жесткость при совместном действии изгибающей нагрузки в двух плоскостях и крутящего момента. Нагрузка передается на вал посредством шкивов и шестерен (в зависимости от варианта). Во второй части работы для выбранного по условиям жесткости и прочности вала (здесь имеется в виду назначение геометрических размеров поперечного сечения вала) проводится расчет на прочность при повторно-переменной (циклической) нагрузке. Для решения задания необходимо обратиться к лекционному курсу по темам: «Сложное сопротивление» и «Расчет на прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях». Основные теоретические сведения, относящиеся к этим темам, вкратце изложены в следующем параграфе.
1. Расчет вала на изгиб и кручение
Изгиб с кручением круглого вала – вид деформирования стержней, который часто встречается в машиностроении. По этой схеме работает подавляющее большинство валов машин: паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих. На рис. 2.1,а приведена схема нагружения стержня, а на рис. 2.1,б – эпюры изгибающих и крутящего моментов. Изгибающий момент в опасном сечении:
, (2.1)
где , .
Поскольку при изгибе круглого стержня косой изгиб невозможен, можно найти изгибающий момент проще – . Однако такой подход пригоден для простой расчетной схемы на рис. 2.1,а. При расчете валов машин в разных сечениях вала нагрузки действуют по разным направлениям. Поэтому приходится раскладывать силы на вертикальную и горизонтальную оси, строить эпюры изгибающих моментов, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях, и находить изгибающий момент геометрическим суммированием по формуле (2.1).
a б
Рис. 2.1.
В опасном сечении стержня (у заделки) от изгиба возникают нормальные напряжения, от кручения – касательные. Из графиков их распределения (рис. 2.2,а) видно, что максимальных значений они достигают в одной точке – точке С (или точке D) – крайних точках сечения. В этой точке имеет место плоское напряженное состояние (рис. 2.2,б).
a б
Рис. 2.2.
В опасной точке С опасного сечения:
(2.2)
. (2.3)
Проверку прочности необходимо делать по III-й или по IV-й теориям прочности. Напряженное состояние в точке С идентично напряженному состоянию при поперечном изгибе, поэтому используем следующие формулы:
(2.4)
. (2.5)
Если в условия прочности подставить формулы нормальных и касательных напряжений в опасном сечении, учтя при этом, что , получим следующее выражение для условий прочности круглого стержня при изгибе с кручением:
(2.6)
. (2.7)
Эти выражения удобно представить в форме, аналогичной условию прочности по нормальному напряжению при изгибе:
(2.8)
. (2.9)
2. Расчет на прочность при повторно переменной нагрузке
Известны многие попытки создания гипотез усталостного разрушения в сложном напряженном состоянии. Все они сводятся к обобщению известных гипотез прочности и пластичности на случай цикличных напряжений. Для наиболее часто встречающегося на практике случая изгиба с кручением общепринятой является эмпирическая формула:
, (2.10)
где – коэффициент запаса усталостной прочности, – коэффициент запаса по нормальным напряжениям, в предположении, что , – коэффициент запаса по касательным напряжениям, в предположении, что .
Эту формулу легко преобразовать в условие усталостной прочности:
. (2.11)
Условие статической прочности может быть записано в соответствии с III-й теорией прочности в виде:
. (2.12)
Ориентировочные значения величин допускаемого значения коэффициента запаса прочности приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Факторы, влияющие на запас прочности. Для расчета на статическую прочность по пределу текучести | |
Весьма пластичный материал | 1,2…1,5 |
Пластичный материал | 1,4…1,8 |
Малопластичный материал | 1,7…2,2 |
Хрупкий материал | 2,0…3,0 |
Окончание таблицы 2.1
Факторы, влияющие на запас прочности. Для расчета по пределу выносливости при циклической нагрузке | |
При повышенной точности расчета, однородном материале, широком использовании экспериментальных данных, высоком качестве технологии | 1,3…1,5 |
При недостаточном объеме экспериментальных данных о нагрузках и характеристиках прочности, при ограниченном числе натуральных усталостных испытаний, среднем уровне однородности материала, технологии производства и дефектоскопии | 1,5…2,0 |
При малом объеме и отсутствии экспериментальной информации о нагрузках и прочности, при невысоком уровне технологии производства, пониженной однородности материала (литые и сварные детали значительных размеров) | 2,0…3,0 |
З а д а н и е
Вал, лежащий на двух опорах, загружен произвольной системой сил: P1,Р2, Т1 Т2, А, (рис. 2.3, табл. 2.2). Подобрать поперечное сечение вала из условий прочности и жесткости, если вал принимает мощность N с угловой скоростью ω. В расчете использовать третью теорию прочности, полагая допускаемые напряжения равными . Прогиб вала не должен превышать 1/400 пролета. Рассчитать вал на циклическую прочность, считая, что вращающийся вал испытывает переменный изгиб с коэффициентом асимметрии . Одновременно вал подвергается кручению с коэффициентом асимметрии . Материал вала Ст45. Модуль Юнга , предел прочности , предел текучести , пределы выносливости , . Поверхность вала шлифованная, коэффициент, учитывающий влияние обработки поверхности, равен . Коэффициент, учитывающий масштабный эффект, равен .
В опасном сечении вала имеется отверстие для смазки диаметром , для которого теоретические коэффициенты концентрации напряжений составляют: при изгибе , при кручении . Для расчета принять трубчатое сечение вала с наружным диаметром D, внутренним диаметром . Расчетные схемы и исходные данные представлены на рис. 2.3 и в табл. 2.2.
Рис. 2.3.
Таблица 2.2
№ строки | № схемы | Мощность N | Угловая скорость ω | а | в | с | ||
кВт | с-1 | м | мм | мм | ||||
0,2 | 0,4 | 0,3 | ||||||
0,2 | 0,8 | 0,35 | ||||||
0,2 | 0,80 | 0,50 | ||||||
0,30 | 0,40 | 0,40 | ||||||
0,80 | 0,60 | 0,40 | ||||||
0,40 | 0,40 | 0,50 | ||||||
0,40 | 0,70 | 0,20 | ||||||
0,30 | 0,60 | 0,50 | ||||||
0,60 | 0,30 | 0,20 | ||||||
0,40 | 0,50 | 0,60 |