Аппроксимация тригонометрическими полиномами кусочно-гладких функций
Функция 
называется кусочно-гладкой на отрезке 
, если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, в каждом из которых – гладкая функция, т.е.непрерывна вместе со своей первой производной.
| Теорема | Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции на отрезке сходится к значению  в точке  ( сходиться к  в точках непрерывности функции).
В обеих граничных точках сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений в этих точках, т.е.
| ||||
| Пример | Найти ряд Фурье для функции
Представить графически приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней  ,  . Оценить погрешность среднеквадратического приближения  .
| ||||
| Решение | Определяем коэффициенты Фурье (по формуле (4))
 
Сделаем замену переменных :   .
Тогда  
и формулы (3), (4) примут вид:
Т.е. (3), (4) и (3'), (4') эквивалентны! Считать удобнее по формулам (3'), (4'). Определяем коэффициенты Фурье (у нас
Т.о. ряд Фурье имеет вид
Многочлен наилучшего приближения получаем из последней формулы:
Погрешность приближения находим по формуле:
( следует из
т.к.
|
- функция определена на интервале 
):
)
,
то 
