Краткие теоретические сведения

1. Перечень основных глобальных характеристик числовой функции:

- ООФ и ОЗФ;

- нули и промежутки знакопостоянства функции;

- четность, нечетность функции;

- периодичность;

- промежутки монотонности функции;

- локальные экстремумы функции;

- наибольшее и наименьшее значение функции;

- ограниченность функции.

2. Нули и промежутки знакопостоянства функции :

- множество нулей функции: ;

- промежутки знакоположительности функции: ;

- промежутки знакоотрицательности функции: .

3. Четность, нечетность функции :

Функция называется четной, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно точки x=0,

2) f(-x) = f(x) при .

График четной функции имеет осевую симметрию относительно оси функции.

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно точки x=0,

2) f(-x) = -f(x) при .

График нечетной функции имеет центральную симметрию относительно начала координат.

4. Периодичность функции:

Функция называется периодической,если существует числоT>0, такое что выполняется равенство при ООФ.

Наименьшее из чисел T называется наименьшим периодом; любой промежуток длины T называется основным промежутком для периодической функции.

5. Промежутки монотонности функции:

Интервал называется промежутком монотонности функции , если на этом промежутке функция только монотонно возрастает или только монотонно убывает .

Краткие определения монотонно возрастающей и монотонно убывающей функции:

при , будет ;

при , будет .

6. Локальные экстремумы функции:

Локальные экстремумы функции - это есть локальные минимумы функции и локальные максимумы функции .

Локальный максимумфункции - это значение функции в точке максимума: , - точка max; локальный минимумфункции - это значение функции в точке минимума: , - точка min.

Точка максимумафункции - это точка ООФ, для которой можно указать окрестность , такую что при ; точка минимумафункции - это точка ООФ, для которой можно указать окрестность , такую что при .

7. Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшим и наименьшим значениями функции называются экстремумы множества её значений:

8. Ограниченность функции:

Функция называется ограниченной, если ограничено множество Y её значений, при этом .

9. Простейшие преобразования графика функции :

1) - сдвиг по оси аргумента на a единиц;

2) - сдвиг по оси функции на A единиц;

3) - сжатие по оси аргумента в a раз;

4) - растяжение по оси функции в A раз;

5) - зеркальное отражение относительно оси функции (изменение направления на оси аргумента);

6) - зеркальное отражение относительно оси аргумента (изменение направления на оси функции);

7) - функция всегда четная, график , остается на месте и симметрично относительно оси Oy отражается на ;

8) - функция принимает только неотрицательные значения; части графика , на которой , остаются на месте; части графика , на которых , отражаются симметрично относительно оси Ox.

10. Образ и прообраз множества при отображении заданной функцией:

Если задана функция и выделено множество , то множество называется образом множества E при отображении функцией . При этом множество E называется прообразом множество G при том же отображении .

Аудиторные задания

Задача 1

Для функции найдите множество нулей , область положительности и область отрицательности :

1) 2) ; 3) .

Ответы: 1)

2) ;

3) .

Задача 2

Функцию исследуйте на чётность:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Ответы: 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) нечетная;

4) ни четная, ни нечетная; 5) нечетная; 6) четная;

7) четная; 8) ни четная, ни нечетная; 9) ни четная, ни нечетная;

Задача 3

Постройте график заданной функции y = f(x) и опишите её глобальные характеристики; найдите множество , которое является образом, заданного множества E при отображении y = f(x), и укажите, является ли отображение биекцией:

1) 2) 3)

4) 5) .

Ответы: 1) биекцией не является;

2) является биекцией;

3) биекцией не является;

4) является биекцией;

5) биекцией не является.

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Функцию исследуйте на чётность:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Задача 2

Постройте график периодической функции с указанным периодом T, которая задана формулой на основном промежутке длиной T:

1) ; 2) ; 3) .

Задача 3

Постройте графики следующих функций и запишите их основные характеристики:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .

Задача 4

Постройте графики следующих функций, используя простейшие преобразования графиков; в ответ запишите множество , если множество задано; укажите, является ли отображение биекцией:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

Ответы к задачам для домашнего выполнения

Задача 1

1) ни четная, ни нечетная; 2) четная; 3) ни четная, ни нечетная; 4)нечетная; 5) нечетная.

Задача 2

1)
2)
3)

Задача 3

ООФ:

; ОЗФ:

;

; функция ни четная, ни нечетная, непериодическая; промежутки монотонности:

при

; локальных экстремумов нет;

не

;

, функция не является ограниченной, но ограничена снизу.

ООФ:

; ОЗФ:

;

; функция ни четная, ни нечетная, непериодическая; промежутки монотонности:

при

и при

при

и при

; локальные экстремумы:

при x=0 и при x=1,

при

;

не

;

, функция не явл. огр., но огр. сверху.

ООФ:

; ОЗФ:

;

; функция нечетная, непериодическая; промежутки монотонности:

при

; локальных экстремумов нет;

не

;

, функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

ООФ:

; ОЗФ:

;

; функция ни четная, ни нечетная, непериодическая; промежутки монотонности:

при

и при

; локальные экстремумы:

при

;

не

;

, функция не является ограниченной, но ограничена снизу.

	ООФ: ; ОЗФ: ; , , ;
функция ни чет., ни нечет.; функция периодическая с наименьшим периодом ; промежутки монот.: при , при ; локальные экстремумы: при ; , ; , , функция является ограниченной.