Дифференциальное исчисление.
§1. Понятие производной функции.
Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке X.
|
. Дадим аргументу x приращение 
так, чтобы 
. Тогда функция получит приращение 
.
Опр. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
Производную функции обозначают также 
, 
. Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из 
следуют соотношения: 
.
При 
точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.
,
где 
- угол между касательной к графику в т. 
и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Пример 1.Найти производную функции у=х.
Решение. Для любой точки найдем производную:
.
Пример 2. Найти производную функции 
.
Решение. Для любой точки найдем производную:
Аналогично можно найти производные всех основных элементарных функций.