Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Свойства степенной функции при .

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Свойства степенной функции при .

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция возрастает при .

· Функция выпуклая при .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция возрастает при .

· Функция вогнутая при , если ; при , если .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Обратите внимание! Если a -–отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , когда .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a, .

· Область определения: .
при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

· Функция проходит через точку (1;1).

Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

· Область определения: .
при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

· Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1)(выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .