Предел функции

Пусть функция определена на множестве . Число А называется пределом функции при , если , что при .

Это записывают так:

.

Если и , то используют запись ; если и , то .

Числа и называются соответственно левосторонним и правосторонним пределами функции в точке .

Если существуют пределы и , то:

1) , где ;

2) ;

3) .

При решении задач полезно знать следующие “замечательные” пределы:

1) 2) ; 3) ; 4)

5)

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида ,,,, и т.д.

Существуют различные приемы раскрытия данных неопределенностей:

деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (при ); сокращение на множитель, создающий неопределенность; применение “замечательных” пределов и т.п.

Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1)

Решение. При получаем неопределенность вида . Чтобы найти предел данной дробно - рациональной функции, необходимо предварительно разделить числитель и знаменатель дроби на , т.к. степень - наивысшая степень многочленов, определяющих данную рациональную функцию. Применяя основные теоремы о пределах и свойства бесконечно малых величин, получаем:

2)

Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

3)

Решение Здесь имеет место неопределенность вида . Вычисление данного предела основано на применении первого “ замечательного” предела ().Имеем:

4)

Решение. При данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к 1, а показатель – к (неопределенность вида ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй “замечательный” предел (). Получим:

.

Так как при ,то . Учитывая, что , находим .