Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах.
По определению: 
Пусть граница области интегрирования 
задана уравнением 
.Выразив из этого уравнения одну переменную через другую, найдемявные уравнения линий, ограничивающих область интегрирования слева- Xлев(y)исправа Xпр(y) или сверху УВ (х)и снизу УН(х).
Пользуясь произвольностью разбиения и выбора отмеченных точек в ячейках разбиения,
- введем разбиение области интегрирования Dлиниями координатной сетки
y=yj=const ||OX- и x=xi=const ||OY
на прямоугольные «ячейки» площадью 
и
- внутри каждого, например, вертикального «столбца» xi<x<xi+1 выберем отмеченные точки 
с одинаковыми абсциссами : 
x=xi*.
|
|
Очевидно, что внутренняя сумма представляет интегральную сумму (1) для интеграла от функции одной переменной 
, которая при измельчении разбиений
определяет «определенный интеграл» по промежутку [yH(xi); yB yH(xi)]
После этого, внешняя сумма 
так же представляет интегральную сумму (1) для интеграла от функции одной переменной 
: 
Таким образом, вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах сводится к двукратному интегрированию функции f(x,y), при этом
(1) внутреннее интегрирование функции одной переменной выполняется в области D вдольпрямой 
или 
. Пределы этого интегрирования – уравнения линий, ограничивающих область D СНИЗУ (
) и СВЕРХУ (y=
или СЛЕВА 
и СПРАВА 
(2) повторное интегрирование (внешний интеграл) функции одной (второй) переменной выполняется по отрезку 
, где a,bи c,d -наименьшее и наибольшее значения соответствующих переменных на всей области интегрирования D.
-----------------------------------------------------------------------
ЭКЗ Показать, что
-----------------------------------------------------------------------
Замечание. Если при выбранном порядке интегрирования границы области вдоль соответствующей «координатной прямой» задаются различными уравнениями (“сложная область”), область интегрирования следует разбить на “простые для выбранного порядка интегрирования» части : 
Алгоритмвычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах 
(1) Выбрать «порядок интегрирования» и записать двойной интеграл в виде двукратного: 
.
(2) Представить область интегрирования Dв виде объединения частей Di, простых для выбранного порядка интегрирования, и записать интеграл как сумму двукратных интегралов: 
(3) 
Для каждой «простой» области Di записать в явном виде уравнения границ вдоль соответствующей координатной линии, проставить пределы интегрирования и вычислить двукратный интеграл.
--------------------------------------------------------------------------
ПРИМЕР. 
(1) 
(2) x=const è 
y=const è D– «простая» область
(3)вдоль линии x=const ||OY вдоль линии y=const ||OX
