Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берутся их интегральные аналоги.
Определение 4. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находятся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл:
В том случае, когда возможные значения случайной величины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и b бесконечны: а = -
, b = . Возможны также случаи, когда один из пределов интегрирования бесконечен (возможные значения Х лежат на полупрямой).
Определение 5. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:
Все сказанное выше о случаях бесконечных пределов интегрирования остается справедливым и для дисперсии.
Среднее квадратичекое отклоенние непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле (18.15):
σ(Х) = 
.
Для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула, которая выводится из (18.37):
Пример 4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:
Решение. Согласно формулам (18.36), (18.38) и (18.15) последовательно вычисляем искомые величины:
Пример 5. Найти основные числовые характеристики непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения на положительной полуоси Ох:
Решение. Найдем сначала плотность распределения:
Затем, как и в предыдущем примере, вычисляем соответствуцющие интегралы; при их вычислении применяем правило интегрирования по частям для определенного интеграла. В итоге получаем искомые величины:
