Пример 5.

Пример 4.

Другие виды неопределенностей

Неопределенности вида 0 ∙ и — можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.

Пример 6. Найти предел x ln x.

Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х = и теперь уже имеем неопределенность вида при х 0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем

Пример 7. Найти (cosec x — ctg x).

Решение. Это неопределенность вида — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем

Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Ло­питаля дает нам

Рассмотрим неопределенности вида 0⁰, 1, ⁰, возникаю­щие при вычислении пределов функций у = и(х)^v(x). Неопреде­ленности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преоб­разования

Пример 8. Найти предел .

Решение. Это предел вида 0⁰; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера

Пример 9. Найти предел

Решение. Это предел вида 1. Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:

Следовательно, искомый предел равен