Интегральный признак

Пусть дан ряд с положительными невозрастающими членами . Пусть

такая непрерывная невозрастающая функция, что . Тогда, если несобственный интеграл сходится, то и ряд тоже сходится, а если этот несобственный интеграл расходится, то и ряд

расходится.

Пример 10.6. Исследовать сходимость рядов:

а); б); в).

Решение, а) Найдем . Введем подстановку

пределы: при будет , при будет .

Тогда , интеграл

расходится, значит, и ряд расходится.

б) , интеграл сходится и рядсходится.

в),расходятся интеграл и ряд.

Здесь мы показали расходимость гармонического ряда другим способом.

Назовем обобщенным гармоническим рядом ряд вида

(10.2)

Исследуем его сходимость, пользуясь интегральным признаком.

Следовательно, ряд (10.2) расходится, если ; сходится, если а>1. Зная это обоснование, можно быстро оценить сходятся ли, например, ряды:

1); 2; 3); 4). Показатели степеней знаменателей соответственно равны 1) =2>1, ряд сходится; 2) =<1, расходится; 3) =>1, сходится; 4) = <1, расходится.