Интегрирование рациональных дробей
Пример 19.
Пример 18.
Пример 17.
Пример 16.
Пример 15.
Пример 14.
Ответ: 
Ответ:
Ответ: 
Ответ:
Далее необходимо решить уравнение:
Пусть 
, тогда уравнение запишется в виде:
Ответ: 
Пусть 
, тогда получили уравнение вида:
Ответ: 
1) Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей.
Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m<n. В противном случае (если m ³ n) она называется неправильной.
Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:
I 
.
II 
.
III 
IV 
Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.
Пример 20. Представить дробь 
в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.
Так как высшая степень числителя равна 4, а знаменателя – 2, то данная дробь неправильная (4 > 2). Разделим числитель на знаменатель:
Следовательно, дробь можно записать в виде:
.
Ответ: 
.
Теорема 4. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.
Разложение правильной рациональной дроби 
(m<n) на сумму простых дробей выполняют по следующей схеме:
а) Найти корни многочлена Qn(x) и представить его в виде произведения простых множителей:
,
Где 
, 
, 
, 
, 
б) Записать разложение дроби с неопределенными коэффициентами:
в) Определить коэффициенты
суммарное число которых равно n, методом неопределенных коэффициентов.
Для этого необходимо все разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби Pm(x). Приравнивания в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – интересующие нас коэффициенты.
Пример 21. Разложить дробь 
на сумму простых дробей.
1) Данная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:
.
2) Запишем разложение данной дроби на сумму простых дробей:
3) Для нахождения коэффициентов A, B и C приводим разложение к общему знаменателю и приравняем их числители.
Следовательно:
