ДОКАЖЕМ ДОСТАТОЧНОСТЬ

ТЕОРЕМА

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда,когда G=detГ=0

Пусть G=0. Рассмотрим равенство . Умножая его скалярно на вектора получим систему

Матрица этой однородной системы есть матрица Грама. Т.к по условию G=det Г=0, то система имеет нетривиальные решения Это означает, что система линейно независима.

Объемом параллелепипеда, построенного на векторах называется число V=, где G-определитель Грама.

Ортогональные дополнения пространства.

Пусть -подпространство евклидового пространства L.

ОПР.Множество векторов ортогональны каждому наз. Ортогональным дополнением и обозначается

ЛЕММА.Ортогональное дополнение само является подпространством.

ТЕОРЕМА.(О разложении пространства в прямую сумму). Пространство L разлагается в прямую сумму любого своего подпространства и его ортогонального дополнения .

Это значит, что произвольный вектор , принадлежащий L,можно представить в виде:

В равенстве вектор g наз. Ортогональной проекцией на составляющей относительно .

Лекция 12

Нахождение ортогональной проекции ортогональной составляющей.

Пояснение на примере.

Пусть дано подпространство с базисом . Найдем ортогональную проекцию на .

Т .к. , его можно разложить по базису. Отсюда

Умножая р-во (1) скалярно на и учитывая, что получим систему линейных ур-ий относительно

Решив систему

Аналогично рассматриваем случай подпространства с базиса

ОПР. Расстояние от вектора до наз. Норма

ОПР. Углом между и наз. Угол между и