Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода

Если в формуле Грина положить P(x,y) = – y, Q(x,y) = x, то получим , так как .

Таким образом как следствие из формулы Грина получается следующее равенство:

(4)

Эта формула дает возможность вычислить площадь плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода по ее границе.

Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода)

Вычислить площадь, ограниченную эллипсом с полуосями a и b.

Решение

Для вычисления криволинейного интеграла записываем параметрические уравнения эллипса с полуосями a и b:

и сводим криволинейный интеграл к определенному по переменной t:

Ответ: (ед. площади).