Правило перевода двойного интеграла в систему полярных координат (Сформулируйте правило перевода двойного интеграла в систему полярных координат)

Чтобы перевести двойной интеграл из декартовой системы координат в систему полярных координат , нужно в подынтегральной функции сделать замену переменных и бесконечно малый элемент площади записать по формуле

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сводится к повторному интегралу по имеющейся записи области D неравенствами для переменных j и r. В результате получается формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

(3)

Примеры 3 (вычисление двойных интегралов в полярных координатах)

1. Вычислить , где. Решение Строим область D и записываем ее системой неравенств в полярных координатах:
По формуле (3) получим:

2. Вычислить , где

Решение

Строим область D и записываем ее неравенствами в полярных координатах

При этом уравнение окружности со смещенным центром переведено в полярные координаты: .

Теперь переводим данный двойной интеграл в полярные координаты по формуле (3) и сводим его к повторному интегралу в соответствии с записью области D неравенствами: