ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вопросы

1.Свободные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

2. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

3. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

4. Резонанс напряжений и резонанс токов.

1. Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрического Еи магнитного Нполей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.

- С + I=dq/dt

φ₂ φ₁> φ₂

R L

K E_c =-LdI/dt

Рис.1.

Если сопротивление R мало (R→0) электрический контур является идеальным (LC – контур). При R≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Свободные колебания в LC-контуре.Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого W_C = q²/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля W_L=LI²/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия W_C обращаются в нуль, энергия магнитного поля W_L и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции Е_с). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю. После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна

I = dq/dt. (1)

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:

IR = φ₁ – φ₂ + E_C. (2)

Подставив разность потенциалов между обкладками φ₂ – φ₁ =q/C и э.д.с. самоиндукции E_c =-LdI/dt, равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t) на обкладках конденсатора, и таким образом получим дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = 0. (3)

Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.

Если учесть, что R = 0,то процесс периодического превращения электрическойэнергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U₀cosω₀t, а ток в катушке индуктивности – I = I₀cosω₀t, т. е свободныеколебания в контуре являются гармоническими с частотой ω₀ = 2π/Т₀. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты ω₀ гармонических колебаний:

ω₀ = 1/√LC, (4)

уравнение (3) перепишем так

d²q/dt² + ω₀²q = 0 (3а)

- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре.

Решением уравнения (3а) является функция

q = q_mcos(ω₀t + α). (5)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω₀ = 1/√LC, которая называется собственной циклической частотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.

Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

T₀ = 2π√(LC). (6)

Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

U_с = (1/C)q_mcos(ω₀t + α) = U_m cos(ω₀t + α). (7)

Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

I = - ω₀q_m sin(ω₀t + α) = I_m cos(ω₀t + α + π/2). (8)

Из (8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе C на π/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:

U_m=q_m/C, I_m = ω₀q_m, U_m = I_m√(L/C).

2. Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R≠0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение β=R/2L,где β – коэффициент затухания, тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом

d²q/dt² + 2βdq/dt + ω₀²q = 0. (9)

(9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

При условии, что β<ω₀ решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:

q = q_m e^-βt cos(ωt + α), (10)

где ω = √( ω₀² – β²) - частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что ω<ω₀. Таким образом, потери энергии приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для ω₀ и β, получим

ω = √(1/LC – R²/4L²). (11)

При R = 0 выражение (11) переходит в (4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом

Т = 2π/ω и убывающей амплитудой q_m (t) = q_mexp(-Rt/2L), рис.2.

q

t

Рис.2.Затухание свободных колебаний заряда в RLC- контуре.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации

τ = 1/β = 2L/R,

т.е. индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

I = dq/dt = q_m e^-βt [-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].

Это выражение можно преобразовать к виду

I = I_me^-βtcos(ωt + α +Δ). (12)

Из (12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

λ = ln a(t)/a(t+T) = βT, (13)

где a(t) – амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что λ = 1/N_e, где N_e- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Подставив в (13) значение для β=R/2Lи Т=2π/ω, получим

λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/Lω, (14)

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура.

Если затухание невелико (β<<ω₀), то в (14) можно считать ω ≈ ω₀ =1/√LC. Тогда

λ ≈ (πR/L)·√(LC) = πR·√(C/L).

Величину √(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением.

Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностьюQ, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

Q = π/λ = πN_e.(15)

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

Q = (1/R)·√(L/C). (16)

При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет и при β² ≥ ω₀²вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления R_k определяется условием

R_k²/4L² = 1/LC, (17)

откуда

R_k = 2√(L/C). (18)

Таким образом, условие возможности колебаний в контуре записывается в виде:

R < 2√(L/C = R_k. (19)