Эмпирические центральные и начальные моменты
Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.
Эмпирическим начальным моментом (
) порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней вариантов, т.е.
(20)
Эмпирический начальный момент нулевого порядка
Эмпирический начальный момент первого порядка 
Эмпирический начальный момент второго порядка 
и т.д.
Эмпирическим центральным моментом (
) порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней отклонений вариантов от их средней арифметической, т.е.
(21)
Эмпирический центральный момент нулевого порядка
Эмпирический центральный момент первого порядка 
(в силу свойства 1° средней арифметической).
Эмпирический центральный момент второго порядка
В дальнейшем для краткости величину 
часто будем называть просто центральным моментом (начальным моментом), не употребляя термин «эмпирический».
Используя формулу бинома Ньютона, разложим в ряд выражение для центрального момента q-го порядка:
В проведенных тождественных преобразованиях использованы свойства 5° и 3° средней арифметической; 
— число сочетаний из q элементов по р элементов (p≤.q).
Итак, центральный момент q-го порядка выражается через начальные моменты следующим образом:
(22)
Полагая q = 0, 1, 2,…, можно получить выражения центральных моментов различных порядков через начальные моменты:
;
(23)
(24)
(25)
и т.д.
Заметим, что формула (23) для центрального момента второго порядка, как и следовало ожидать, аналогична формуле (18) для дисперсии.
Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволят значительно упростить их вычисление.
1°. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то центральный момент q-го порядка не изменится.
Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то средняя арифметическая для измененного ряда равна 
-с, поэтому центральный момент q-го порядка
Аналогично можно показать, что 
2°. Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то центральный момент q-го порядка уменьшится (увеличится) в 
раз.
Доказательство. Если все варианты уменьшить в одно и то же число k раз, то средняя арифметическая для измененного вариационного ряда равна 
, поэтому центральный момент q-гo порядка
Аналогично можно показать, что 
Для облегчения расчётов центральные моменты вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантам х'=(х — с)/k. Зная 
(центральный момент q-го порядка для измененного ряда), легко вычислить центральный момент q-го порядка для первоначального ряда:
(26)
Действительно, принимая во внимание свойства центрального момента, получаем
откуда следует, что