Производная по направлению

Пусть задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .

Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого .

.

Учитывая, что , то полученное равенство будет иметь следующий вид:

.

Перейдем к пределу при .

Определение 3.1. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Итак, если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

, (3.1)

где - направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (3.2) примет следующий вид:

, (3.2)

где .

Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора .